Gîndirea matematică
Încă aștepți să te întrebe cineva teorema lui Pitagora?
Un argument împotriva matematicii abstracte de la școală este că nu folosește „în viața reală“. Cine o să te întrebe vreodată teorema lui Pitagora sau unde o să o folosești, mai precis? Matematica abstractă este pentru matematicieni și alți cercetători care o folosesc, iar studiul unor teoreme abstracte drept „cultură generală“, adică în ciclul școlar obligatoriu este inutil și cere un efort susținut care mai degrabă stresează elevii. Nu întîmplător, matematica este atît de polarizantă între elevi: cei pasionați și interesați sînt participanții la concursuri și olimpiade sau cei care se visează ingineri sau cercetători, în timp ce restul o detestă, fără prea mult loc în mijloc.
Nu e absurd ca majoritatea elevilor și a părinților să creadă că școala ar trebui să ofere cunoștințe strict necesare, orientate spre practic. Este o credință pe care eu însumi o împărtășesc, dar cu o nuanță. În timp ce destule voci stridente cer pur și simplu eliminarea unor capitole în întregime, eu sînt de partea celor care cred că modificările ar trebui să opereze la nivelul modului de prezentare a subiectelor. Cu alte cuvinte, nu faptul că se predă teorema lui Pitagora este problema, ci modul în care este prezentată, prin abstracțiuni și explicații care încep cu „Fie x…“, „Considerăm un triunghi…“, „Să se rezolve…“ — la care nu te poți abține să nu reacționezi prin „da’ de ce, de unde?“ Am avut mai multe experiențe concrete în care elevii români, bine pregătiți, de altfel, erau incapabili să rezolve probleme elementare din sistemul american, britanic sau german tocmai din cauza modului în care erau formulate. Efortul de a extrage matematica dintr-o problemă concretă le era necunoscut și, atunci cînd întîlneau probleme „cu text“, care nu începeau cu formulările abstracte precum cele de mai sus, deveneau de nerecunoscut.
Matematica este un mod de gîndire, nu un calculator, nu o limbă străină de nepătruns. Acesta este argumentul pe care îl susțin în continuare și pornesc în sprijinul lui cu… literatura.
Citim nu ca să memorăm apoi comentarii literare, să aflăm din jurnale ce făcea o persoană mai mult sau mai puțin cunoscută acum o sută de ani sau pur și simplu fiindcă „ne întreabă din el“ (textul sau autorul). Argumentul pentru lectură este dezvoltarea vocabularului și a imaginației. Scenele din romane există doar în mintea cititorului și sînt atît de credibile pe cît de multă atenție și efort mintal îi acordă. Cititul devine, astfel, un antrenament pentru imaginație, dar și pentru vocabular. Accesînd tot mai des acea stare a minții în care imaginația este solicitată, vom genera cu ușurință tot mai mare imagini tot mai complexe și mai verosimile. La fel, orice propoziție citită este un exemplu de gramatică și vocabular. Unele sînt memorabile ca atare, altele pur și simplu arată moduri de combinare a cuvintelor cu un anumit efect. Sigur vi s-a întîmplat să întîlniți cuvinte necunoscute și, în loc să mergeți la dicționar, ați continuat lectura și ați dedus sensul din context. Așa ați aflat nu doar un cuvînt nou, ci și un mod de a-l folosi. Nivelul următor este cel al poeziei, numită și limbaj distilat, în care creativitatea autorului produce combinații ale cuvintelor pe care nu veți avea ocazia să le folosiți prea des în vorbirea cotidiană, dar vă oferă, într-un fel, piese de colecție, de o raritate deosebită. Aceleași cuvinte, însă folosite într-un mod care le arată o flexibilitate nebănuită.
Revenind la matematică, dar și la științele naturii — oare am putea formula un argument similar?
Mai multe studii de psihologie a dezvoltării cognitive au arătat că „simțul abstractului“ nu este ca un talent — fie te naști cu el, fie nu. Mai mult, nu depinde strict de vîrstă, ci doar de exercițiu, de expunere. Cu alte cuvinte, elevii mai mari înțeleg mai bine o lecție de matematică abstractă nu pentru că li s-ar fi copt simțul abstractului odată cu vîrsta, ci doar că, în mod natural, au avut mai mult timp de expunere la idei abstracte. Elevi de vîrste diferite, deci, pot răspunde la fel sarcinilor care fac apel la înțelegerea abstractului dacă au experiențe anterioare identice din punctul de vedere al expunerii. Rezultă că înțelegerea și manipularea ideilor abstracte, fie ele de matematică sau nu, se antrenează, ca majoritatea capacităților intelectuale.
Apoi, la fel cum romanele citite la rînd fac tot mai ușoară conectarea la o lume imaginară specifică, și matematica studiată și înțeleasă treptat face tot mai ușoară asimilarea unor noțiuni specifice. Mai mult, la fel cum exercițiul imaginației este o abilitate binevenită și în afara literaturii (cum ați argumenta împotrivă? De ce nu ar fi bine să ai o imaginație bogată și ușor accesibilă?), la fel și exercițiul abstractului are beneficii și în afara matematicii. Baza oricărui argument sau teorie matematică este logica, aceeași pe care ar trebui să o aibă toate argumentele și discursurile noastre, nu doar demonstrațiile matematicienilor. Din mijlocul matematicii, așadar, se înțelege cel mai bine, inclusiv prin exemple, cum se structurează un argument, ce conțin pașii specifici (ipoteze/premise, argumentare, concluzie), dar și multe alte noțiuni relevante dincolo de manuale, precum inducția, deducția, consecința, contradicția, tautologia și altele.
În plus, abstractul matematicii devine cel mai mare avantaj, în acest context. Tocmai generalitatea specifică face noțiunile reutilizabile. O teoremă de matematică ascunde, într-un limbaj literar, un arhetip sau un prototip de raționament, care poate fi particularizat, reformulat și aplicat altundeva. Nicio altă disciplină a gîndirii (decît, poate, cu excepția filosofiei) nu mai oferă atît de multă flexibilitate.
Dar nu numai logica și argumentarea ne sînt educate de matematică, ci și intuiția și, într-un fel, simțul măsurii, al numărului. Două exemple sînt relevante: îndoirea foii de hîrtie și tabla de șah.
Știați că nu puteți îndoi o foaie de hîrtie pe jumătate mai mult de 7 ori? La fiecare pas, grosimea se dublează, ceea ce nu pare mult, pornind cu o hîrtie de grosime mai mică de 1 milimetru. Dar 7 îndoiri consecutive înseamnă o creștere a grosimii de 27 = 128 ori. Iar nu doar grosimea ar fi problema principală, ci raportul între grosime și arie. O foaie A4 are o arie de aproximativ 20 x 30 cm (adică 600 cm2), la o grosime de 0,1 mm. După 7 îndoiri, aria se micșorează de 128 ori, iar grosimea crește de 128 ori. Un calcul simplu arată că aria a devenit aproximativ 4,6 cm2 (adică puțin peste 2 cm x 2 cm), iar grosimea 12,8 mm sau 1,28 cm. Practic, foaia A4 a devenit aproape un cub cu latura de 1 cm, asupra căruia trebuie exercitate forțe enorme pentru a fi menținută îndoită, cu atît mai puțin îndoită încă o dată.
O problemă similară, care datează, se spune, din perioada inventării jocului de șah este aceea în care un înțelept cere împăratului o recompensă cam așa: 1 bob de grîu pentru primul pătrat de pe tabla de șah, 2 boabe pentru următorul pătrat, 4 boabe pentru următorul ș.a.m.d., dublînd, de fiecare dată, cantitatea. Împăratul se învoiește, fiind convins chiar că a scăpat ieftin. Dar tabla de șah are 64 de pătrate, deci recompensa ar trebui să fie de ordinul 264 boabe, care este un număr cu 20 cifre și, dacă bobul de grîu are aproximativ 0,065 grame, se ajunge la o cantitate mai mare decît producția globală anuală din zilele noastre!
Ideea de proporție, de simț al măsurii este foarte populară și nu întîmplător, o căutare pe YouTube sau alte site-uri vă arată multe materiale care explică astfel de noțiuni, ca acesta. De remarcat sînt și reacțiile din comentarii, care arată că noțiunile prezentate sînt realmente surprinzătoare.
Am dat, pe scurt, cîteva exemple din logică și calcule aritmetice simple. Argumentul pe care îl repet este că matematica este un mod de gîndire, pentru care abstractul este cel mai mare avantaj, prin generalitatea și flexibilitatea pe care le oferă. Înțelegerea matematicii nu înseamnă memorarea formulelor și lucrul cu triunghiuri, ecuații și necunoscute toată ziua, ci un antrenament abstract pentru sarcini generale. Sigur că nu ai nevoie obligatorie să studiezi pentru a obține astfel de abilități (la fel cum putem argumenta că nu e nevoie de abilitățile înseși). Dar este nu doar nedrept, ci pur și simplu greșit să credem că matematica din școală nu-și arată utilitatea decît dacă devii matematician, inginer sau mergi la olimpiade sau dacă ai trăi într-o lume în care chiar întîlnești des calcul de arii, perimetre, volume, rezolvări de ecuații sau încă mai mult, nu ai avea un computer care să ți le facă pe toate.
Dar vă provoc: alegeți orice disciplină de studiu doriți și întrebați-vă: este ea relevantă doar pentru cei care își doresc să devină specialiști în domeniul respectiv? Iar dacă nu, de ce ar sta lucrurile diferit cu matematica? Doar pentru că nu este prezentată și, în consecință, învățată adecvat. Dar asta e, deja, o altă discuție.
P.S. Pentru cititorii extra-curioși, vă recomand o carte pe care am terminat-o chiar săptămîna aceasta: Axiomatics: Mathematical Thought and High Modernism. Nu vă lăsați descurajați de titlul aparent sofisticat și abstract. Autoarea are o specializare deosebită, în istoria ideilor politice în paralel cu istoria matematicii. În carte vorbește despre dezvoltarea metodelor matematicii din perioada Războiului Rece, în paralel cu gîndirea științifică și social-politică, despre „matematica omului“, ca să preiau expresia lui Claude Lévi-Strauss, citat de autoare.